猿でも分かるモンティ・ホール問題

最近、モンティ・ホール問題に関連することに何度か出くわした。一つは映画「ラスベガスをぶっつぶせ」。主人公の論理的思考を試すために、この問題が出題される。２つめは知識botでこのキーワードが紹介されていた。
そろそろ自分の中でもこの問題について整理するべきなのだろうと考えて、「サルでも分かるモンティ・ホール問題」としてポストする。


■■モンティ・ホール問題とは？

確率論の問題の一つで、アメリカのTVショーで行われていたゲームが発端となった。具体的には以下のような問題だ。

1. ドアが３つある。その中の一つのドアが当たりで、残りがハズレ。
2. 挑戦者は、これらのドアのうち１つを選択する。
3. 司会者は、残った２つのドアからハズレのドアを１つ開ける。
4. さて、この時挑戦者が当たりを引きたければ、選択したドアを変更するべきか？

 この問題、直感的には、ドアを変更してもしなくても確率は同じと思ってしまう。しかし、論理的には「ドアを変更するべき」が答えだ。

以下に、

1. ケースを網羅して確率を出す
2. ベイズの定理を応用して確率を出す

の２つの方法で、論理的に答えを出してみる。

■■１．ケースを網羅して確率を出す
３つのドアをA、B、Cと名付ける。上記の問題のステップ１と２までで起こり得る全てのケースとその確率を列挙すると、以下の表のようになる。

次に、ステップ３の司会者がドアを開けるケースとその確率を上の表に追記すると以下の表になる。

上記ケースのうち、

• 挑戦者が最初の選択したドアを変更して当たりを引くケースは３、４、５、８、９、１０で、確率の合計は「2/3」
• 挑戦者が最初の選択をしたドア変更せず当たりを引くケースは、１、２、６、７、１１、１２で確率の合計は「1/3」

そのため、挑戦者は「ドアを変更したほうがよい。」という結論になる。


■■２．ベイズの定理を応用して確率を出す
ベイズの定理についての詳しい解説は、Wikipediaに譲る。
モンティ・ホールの問題は結局のところ、司会者がドアを開けた後、残りのそれぞれのドアが当たりとなる「事後確率」を求める問題だ。

モンティ・ホール問題 を解くために、ステップ２で、挑戦者はAのドアを選択し、司会者がBの扉を開けた状況を前提に話を進める（※）。この場合、「挑戦者はドアを変更するべきか？」の問いは、即ち、Bを開けた後にAが当たる事後確率「P(A当|B開)」とCが当たる「P(C当|B開)」を計算し、比較すればよい。

ベイズの定理より、
P(A当|B開) = P(B開|A当)P(A当)/P(B開)なので、左辺の各確率を求めていく。

• P(B開|A当)・・・Aが当たりなら司会者はハズレであるCとBのどちらか扉を等しい確率で開けるため、1/2。
• P(A)・・・Aが当たりの確率は1/3
• P(B開)・・・P(B開)=P(B開|A当)*P(A当)+P(B開|B当)*P(B当)+P(B開|C当)*P(C当)=1/2*1/3+0*1/3+1*1/3=1/2  （※２）

同様に、P(C当|B開)=P(B開|C当)P(C当)/P(B開)を求めると、1*(1/3)/(1/2)=2/3

よってP(C当|B開) > P(A当|B開)なので、挑戦者は「ドアを変更したほうがよい。」という結論になる。

（※）他の場合も同様に考えることができる。
（※２）P（B開|B当)は、Bが当たりなら司会者は扉を開けないためゼロになる。また、P（B開|C当)はCが当たりなら、Aはすでにあけられているため、司会者は残るBを開けるしかないため確率は１になる。

伊勢神宮へ参拝

朝５時の開門前に伊勢神宮の内宮に行く。
ライトに浮かびあがる大鳥居。
背景には無数に散らばった星に輪郭を縁取られる朝熊山。
「荘厳」という言葉が似合う。

吐く息は白く、冷えた空気が頬に刺さる。聞こえる音は五十鈴川の水の音だけ。
「静謐」という言葉が似合う。

最初は門番の警備員だけだったのが、５時に近づくにつれ３、４人集まってくる。
「毎日参拝してるんですか？」と僕。中の一人に声をかけてみた。
「そうやで」とおじさん。１４年間、毎朝参拝しているとのこと。

開門。
皆に続いて僕も宇治橋を渡り伊勢神宮の境内へ入る。境内の中は真っ暗で道もほとんど見えない。
点在する照明を頼りに歩く。

正宮と、別宮の荒祭宮を順に回ってお祈りをする。

「世界が平和になりますように」と重々お願いしておいたので、来年の世界はきっと平和です。

中央線快速駅の乗降者数

中央線快速駅の乗降者数をグラフ化してみた。
新宿駅の怪物ぶりがよくわかる。
びっくりは、立川が新宿や東京に次いで、堂々第３位！
以降はまぁ順当なところだな・・・ データはここを元に作成。

山手線、実は品川～田端の間の区間だけ。

一般的には一周全部を指すけど、正式には品川から田端までの区間だけが山手線らしい。（ちなみに起点は品川駅で、ゼロキロポストもあるらしい。）

これは、山手線が、明治時代に作られた日本鉄道（民間会社）の品川線（品川～赤羽）と豊島線（池袋～田端）が後に統合され「山手線」となった経緯からのよう。


実際の区間をgoogleマップにプロットしてみた。
赤の区間（品川～田端）が山手線区間。
緑の区間（田端～東京）が東北本線区間。
青の区間（東京～品川）が東海道本線区間。




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GPSロガー楽しい。

また、会社の帰りに家まで歩いたのでその記録（2012/11/02 20:00～24:30）。今回は青山から西荻窪まで。

GPSロガー楽しい。でも電池の持ちがネック。電池がなくなってくると、記録の制度も悪くなってくる。

なんだか、歩いた記録ばっかりのブログになっちゃいそうなので、歩いた記録は別のブログとして独立させることにした。⇒【歩きろく】

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GPSロガー

GPSロガーを購入したので、さっそく歩いた道を記録していってみる。

会社帰りに新宿から西荻窪まで歩いた記録。（2012/10/26 21:00～24:00）

ラーメン屋店内などでGPSの電波が届かない場所に入ると誤差が大きくなって経路がぶれる以外はちゃんと記録できてる模様。

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二十歳の原点 再読

何年ぶりかな。高野悦子の「二十歳の原点」を再読した。
学生運動に混乱している時代（７０年代）に立命館大学の女子学生が、その自殺の前日まで書き連ねたノートが単行本として出版されたものだ。
彼女から溢れだしてくる文章を読んで、以前読んだときと何ら変わらない感動があった。
前回読んだのは、まだ大学１年の頃だろうか。彼女と同じ年頃の頃だった。その時は、自分の「孤独」「未熟」を彼女と同じように悩んでた。
それから僕も年を重ねて、その悩みは若さゆえの悩みなのだと今は思う。
彼女は二十歳に亡くなってしまうけれど、もし今の僕と同じ年まで生きていたら、彼女はノートにどんな心を書き留めてたんだろう。